ایزاک نیوتن

مکانیک نیوتنی

 

نیوتن در سال 1687 م. "اصول ریاضین فلسفه‌ی طبیعی" را به نگارش درآورد. در این کتاب او مفهوم گرانش عمومی را مطرح ساخت و با تشریح قوانین حرکت اجسام، علم مکانیک کلاسیک را پایه گذاشت. نیوتن همچنین در افتخار تکمیل حساب دیفرانسیل با ویلهلم گوتفرید لایب نیتز ریاضیدان آلمانی شریک است. نام نیوتن با انقلاب علمی در اروپا و ارتقاء تئوری خورشید- مرکزی (heliocentrism) پیوند خورده است. او نخستین کسی است که قواعد طبیعی حاکم بر گردشهای زمینی و آسمانی را کشف کرد. وی همچنین توانست برای اثبات قوانین حرکت سیارات کپلر برهان های ریاضی بیابد. در جهت بسط قوانین نامبرده، او این جستار را مطرح کرد که مدار اجرام آسمانی ( مانند ستارگان دنباله دار) لزوما بیضوی نیست بلکه می تواند هذلولی یا شلجمی نیز باشد. افزون بر اینها، نیوتن پس از آزمایشهای دقیق دریافت که نور سفید ترکیبی است از تمام رنگ های موجود در رنگین‌کمان. در آن دوران دروس دانشکده عموما بر پایهی آموزه‌های ارسطو تنظیم میشد ولی نیوتن ترجیح میداد که با اندیشههای مترقیتر فیلسوفان نوگرایی چون دکارت، گالیله، کپرنیک و کپلر آشنا شود. در 1665 م. او موفق به کشف قضیه‌ی دو جمله‌ای در جبر شد. یافتهای که بعدها به ابداع حساب دیفرانسیل انجامید.
در سال 1684 م. نیوتن که مطالعات خود را درباره‌ی گرانش و چگونگی حرکت سیارات کامل کرده بود، رساله ای در این مورد نوشت که بسیار مورد توجه ادموند هالی منجم معروف انگلیسی قرار گرفت. با تشویق و پیگیری او سرانجام نیوتن کتابش را تکمیل و با سرمایه هالی منتشر کرد.
کتاب (
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) اصول ریاضی فلسفه‌ی طبیعی بر جهان علم بویژه فیزیک تأثیری عظیم گذاشت و بعضی آن را بزرگترین کتاب علمی تاریخ دانستهاند.
کپلر نتوانسته بود توضیح دهد که چرا مدار سیاره‌ها بیضی است و چه نیرویی آنها را به حرکت در می‌آورد. همچنین مشخص نبود که به چه علت سرعت مداری سیارات وقتی به خورشید نزدیکتر می شوند، افزایش می‌یابد.نیوتن در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی به تمامی این پرسش ها پاسخ گفت. او ثابت کرد که نیروی کشش میان اجسام آسمانی، طبق قانون " عکس مربع" عمل می
کند یعنی مقدار نیروی گرانش میان خورشید و یک سیاره برابر است با عکس مجذور فاصله میان آن دو. او با تحلیل ریاضی نشان داد که قانون عکس مربع به ناگزیر مسیر حرکت سیاره ها را بیضی میسازد. آنگاه او گام بلند دیگری برداشت و قانون گرانش عمومی را وضع کرد که به موجب آن هر جسمی در عالم به هر جسم دیگری نیروی کششی وارد میکند و مقدار این نیرو با رابطهی نامبرده محاسبه‌پذیر است. در بخش دیگری از کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی، نیوتن چگونگی جنبش اجسام را در قالب سه قانون توصیف کرده است. ارسطو بر این باور بود که اجسام در حالت طبیعی ساکن هستند و برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی‌ بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت «طبیعی» خود برمی‌گردد و ساکن می‌شود. اما نیوتن با بهره‌گیری از پژوهشهای گالیله به این پندار درست رسید که اگر جسمی با سرعت یکنواخت به حرکت درآید و نیرویی بیرونی به آن وارد نشود تا ابد با شتاب صفر به حرکت خود ادامه خواهد داد. این ویژگی را نیوتن در نخستین قانون حرکت خود چنین بیان می‌کند.
قانون یکم: هر جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت در راستای خط مستقیم باشد، به همان حالت می‌ماند مگر آنکه در اثر نیروهای بیرونی ناچار به تغییر آن حالت شود.
دومین قانون به این پرسش پاسخ می‌دهد که اگر بر یک جسم نیروی خارجی وارد شود، حرکت آن چگونه خواهد بود.
قانون دوم: آهنگ تغییر اندازه‌ی حرکت یک جسم، متناسب با نیروی برآیندِ وارد بر آن جسم است و در جهت نیرو قرار دارد. فرمولی که از این قانون برمی‌آید (
F=ma) به معادله بنیادین مکانیک کلاسیک معروف است که مطابق آن، شتاب یک جسم برابر است با نیروهای خالص وارده تقسیم بر جرم جسم.
سومین قانون می‌گوید که هرگاه جسمی به جسم دیگری نیرو وارد کند، جسم دوم نیز نیرویی به همان بزرگی ولی در سوی مخالف بر جسم اول وارد می‌کند و برآیند کنش همزمان این دو نیرو باعث حرکت شتابدار می‌شود.
قانون سوم: برای هر کنشی همواره یک واکنش برابر ناهمسو وجود دارد.
مجموعه‌ی قوانین سه‌گانه‌ی حرکت و قانون گرانش عمومی، اساس و شالوده‌ی فناوری مدرن هستند و با وجود پیدایش فرضیه های تازه‌تر از اهمیت آن کاسته نشده است. 

 پیش زمینه تاریخی قانون جهانی گرانش نیوتن


بعد از ارائه ی قوانین کپلر و کشفیات پر اهمیت گالیله، ریاضیدانان و فیزیکدانان علاقه زیادی به موضوع های اختر شناسی پیدا کردند. در این زمینه نظریه های مختلفی داده شد. رابرت هوک و ادموند هالی به نظر باقی بودند که نیرویی که سیاره ها را بطرف خورشید می کشد، آنها را در مدار خود نگاه می دارد. از این گذشته آنها گمان می کردند که این نیرو باید با دور شدن از خورشید و به نسبت مربع فاصله ضعیف شوند. کپلر نیز وجود این نیرو را قبول داشت و تصور می کرد که این نیرو به نسبت فاصله ضعیف می شود. بنابراین داستان افتادن سیب و توجه نیوتن به گرانش نه تنها واقعی نیست، بلکه شناختن روند تکامل علم را مختل می کند. حتی 50 سال قبل از نیوتن گالیله به شتاب گرانش توجه داشت و آن را بیان کرده بود. اما امتیاز نیوتن در این بود که اثر همه ی نیروها را تحت قانون کلی توضیح داد و بصورت راضی کننده  بیان کرد. علاوه بر آن نیوتن با یک فرض اساسی که قبل از وی به آن توجه نشده بود توانست قانون جهانی گرانش را فرمول بندی کند. وی فرض کرد که جسمی کروی که چگالی آن در هر نقطه به فاصله آن تا مرکز کره بستگی دارد، یک ذره ی خارجی را طوری جذب می کند که گویی همه جرم آن در مرکز متمرکز شده است. این قضیه توجیه وی را از قوانین حرکت سیارات کامل کرد، زیرا انحراف جزئی خورشید از کرویت واقعی در اینجا قابل صرف نظر کردن است. پس از آنکه نیوتن قانون جهانی گرانش را مطرح کرد، رابرت هوک ادعا کرد که نیوتن کشف قانون گرانش وی را دزدیده و به نام خود ارائه داده است. به همین دلیل مشاجره شدیدی بین نیوتن و هوک در گرفت که موجب رنجش و حتی بیماری نیوتن گردید. 

 قانون اول نیوتن
هر گاه به جسمی نیرویی وارد نشود و یا برایند صفر گردد اگر جسم ساکن باشد ساکن می ماند اگر با سرعت ثابت در حال حرکت باشد با همان سرعت به حرکتش ادامه می دهد .
این قانون تحت عنوان مختلف از جمله، اصل ماند، قانون اینرسی، قانون لختی بیان شده است. طبق قانون اول نیوتن حرکت ویژگی ذاتی اجسام است و در غیاب هرگونه نیروی خارجی جسم همان حالت حرکتی خود را حفظ می کند. این قانون طومار فلسفه ی طبیعی ارسطو را درهم پیچید. زیرا ارسطو گفته بود: برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی‌ بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت طبیعی خود برمی‌گردد و ساکن می‌شود .
چند مثال :
جسمی را روی کف دست خود قرار دهید و دست را بی حرکت نگاه دارید. این جسم تا زمانیکه روی کف دست شما قرار دارد، همانجا و به همان حالت خواهد ماند، زیرا برایند تمام نیروهای وارد بر آن صفر است . 

 قانون دوم نیوتن
قانون دوم نیوتن در فیزیک بسیار مهم و اساسی است. هر گاه نیرویی بر یک جسم اثر کند این جسم شتابی می گیرد که هم جهت نیرو است و اندازه آن با اندازه نیرو نسبت مستقیم و با جرم جسم نسبت عکس دارد .
F=ma or a=F/m
این قانون که در سال 1679 اولین بار در کتاب
Procatinare Unnaturalis Prinicipia Mathematica بوسیله نیوتن منتشر شد بعنوان مهمترین کشف در تاریخ علم قلمداد شده است .
معمولاً قانون دوم نیوتن را با استفاده از تغییر اندازه حرکت تعریف می کنند. چون اندازه یکی از مفاهیم بنیادی در فیزیک است، لذا آنرا تعریف کرده و یکبار دیگر با استفاده از به تعریف قانون دوم نیوتن خواهیم پرداخت.

اندازه حرکت یا تکانه
اندازه حرکت بصورت حاصلضرب جرم در سرعت یعنی
P=mv تعریف می شود. بنابر این با توجه به قانون اول نیوتن هنگامی سرعت تغییر می کند که نیرویی بر جسم اعمال شود. لذا در غیاب هرگونه نیروی خارجی اندازه حرکت یک جسم ثابت است. بنابر این قانون دوم نیوتن را می توان به صورت زیر تعریف کرد :
نیرو = تغییرات اندازه حرکت
F = dp/dt
در قانون دوم نیوتن سرعت نامتناهی قابل قبول است. چون در قوانین نیوتن خواص فیزیکی ماده مستقل از سرعت آن فرض شده، همچنین زمان نیز یک کمیت مستقل و مطلق است، بنابراین با توجه به سرعت نامتناهی در مدت زمان صفر هر فاصله ای قابل پیمودن است. به عبارت دیگر یک شئی در لحظه ای خاص می تواند در مکانهای مختلفی باشد. هرچند این پدیده هرگز مشاهده نشد، اما فیزیکدانان برای مدتی بیش از دو قرن پذیرای آن بودند . 

 قانون سوم نیوتن
برای هر کنشی همواره یک واکنش برابر ناهمسو وجود دارد. به عبارت دیگر هرگاه جسم 1 نیرویی به جسم 2 وارد کند، جسم 2 نیز همان مقدار نیرو را در جهت مخالف نیروی دریافتی به جسم یک وارد می کند، بطوریکه:
F1=-F2 or F1+F2=0
با توجه به اینکه سرعت نامتناهی طبق قانون دوم قابل قبول بود، قانون سوم همواره و در تمام لحظات برقرار بود. حتی اگر دو جسم در فاصله ی دلخواه نسبت به یکدیگر قرار داشته باشند، هر تغییر موضع هر یک از آنها، بلافاصله به دیگری منتقل می شود. یعنی همزمان دو نقطه از جهان و در واقع تمام جهان را می توان تحت تاثیر یک رویداد قرار داد. 

 گرانش
پرتابه ای که بطور افقی پرتاب می شود، مسیری سهمی شکل را بطرف زمین می پیماید و سرانجام به سطح زمین سقوط می کند. اما چون زمین به شکل کره است، سطح آن انحنا دارد. حال اگر پرتابه ای با سرعت زیاد از بالای یک قله پرتاب شود، تحت تاثیر گرانش مسیری منحنی را طی خواهد کرد. اگر سرعت این پرتابه به اندازه ی کافی باشد، می تواند یک دایره ی کامل را حول زمین طی کند و دائم دور زمین بچرخد.
نیوتن فرض کرد که نیروی گرانش زمین مانند کره ای بزرگ و در حال انبساط در همه جهات پراکنده است. بنابراین مساحت این کره برابر است با:
S=4pir^2
وی سپس استدلال کرد که نیروی گرانشی که بر سطح این کره پراکنده شده است، می بایست متناسب با مجذور شعاع آن ضعیف شود. درسا مانند شدت نور و صوت. به این ترتیب برای نیوتن آشکار شد که ماه بایستی تحت اثر این نیروی گرانش کشیده شود. سپس استدلال کرد چنانچه ماه با نیروی معینی بوسیله زمین کشیده می شود، زمین نیز بایستی با همان اندازه بوسیله ماه کشیده شود. آنگاه نتیجه گرفت که نیروی گرانشی میان هر دو جسمی که در جهان است، مستقیماً متناسب با حاصلضرب جرمهای آنهاست.
این نتیجه را قانون جهانی گرانش می نامند که بصورت زیر بیان می شود:
F=GmM/r^2
با گذشت زمان مشخص شد که سیارات و ستارگان از این قانون تبعیت می کنند.
نیوتن هیچگاه قوانین خود را بصورت تحلیلی ننوشت، این کار اولین بار توسط اویلر انجام شد. 

 دستگاه مقایسه ای مطلق اتر
با توجه و کمی دقت به قوانین نیوتن مشاهده می شود که هنگام مطرح شدن این قوانین یک نکته مهم نادیده گرفته شده است، و آن این است که این قوانین نسبت به کدام دستگاه مقایسه ای مطرح شده اند. زیرا در تمام تجربیات مکانیکی از هر نوع که باشند باید وضع نقاط مادی را در لحظه ی معین نسبت به مکانی خاص در نظر گرفته شود.
نیوتن نظر داده بود که کالبد فضا، در حالت سکون است. یعنی می توان از حرکت مطلق سخن گفت. اما در آن زمان اعتقاد عمومی بر این بود که کالبد فضا از اتر (عنصر پنجم ارسطویی) انباشته است. یعنی چنین تصور می شد که اتر در فضا مستقر و ساکن است و به هیچ روی حرکت نمی کند و همه ی اجسام در اتر غوطه ورند.
همچنین دانشمندان کلاسیک همواره تاثیر از فاصله دور را امری می پنداشتند که تصور آن دشوار بود، و نیروی گرانش که می توانست از فواصل دور اثر می کند، نیوتن را به تعجب واداشته بود. نیوتن به منظور توضیح این اثر، عقیده ارسطو را در باره اینکه افلاک از اتر پر شده اند را پذیرفت و فکر می کرد که ممکن است گرانش بطریقی توسط اتر منتقل شود. لذا اتر ضمن آنکه دستگاه مقایسه ای مطلق بود، وسیله ی انتقال گرانش نیز به حساب می آمد. 

 فضا و زمان نیوتنی
نیوتن در کتاب اصول فلسفه ی طبیعی نوشت: زمان مطلق ، حقیقی و ریاضی، خود بخود و به علت ماهیت ویژه خود، بطور یکنواخت و بدون ارتباط با هیچ چیز خارجی جریان دارد.
بنابراین از دیدگاه نیوتن زمان یک مقیاس جهانی بود که مستقل از همه اجسام و پدیده های فیزیکی وجود داشت. زمان به دلیل ماهیت خود جریان داشت و این جریان وابسته به هیچ چیز دیگری نبود.
همچنین در مورد فضا چنین می گوید فضا در ذات خود مطلق و بدون احتیاج به یک چیز خارجی همه جا یکسان و ساکن است.
اینگونه نگرش به مطلق در قوانین نیوتن راه گشای بسیاری از ابهامات مکانیک نیوتنی بود. زمان مطلق، فضا مطلق و حرکت مطلق مواردی بودند که مکانیک نیوتنی بر اساس آنها شکل گرفته بود. 

 مشکلات قانون گرانش
مهمترین مشکل قوانین نیوتن در قانون جهانی گرانش وی بود و خود نیوتن نیز متوجه آن شده بود. نیوتن دریافت که بر اثر قانون گرانش او، ستارگان باید یکدیگر را جذب کنند و بنابراین اصلاً به نظر نمی رسد که ساکن باشند. نیوتن در سال 1692 طی نامه ای به ریچارد بنتلی نوشت "که اگر تعداد ستارگان جهان بینهایت نباشد، و این ستارگان در ناحیه ای از فضا پراکنده باشند، همگی به یکدیگر برخورد خواهند کرد. اما اگر تعداد نامحدودی ستاره در فضای بیکران به طور کم و بیش یکسان پراکنده باشند، نقطه مرکزی در کار نخواهد بود تا همه بسوی آن کشیده شوند و بنابراین جهان در هم نخواهد ریخت." این برداشت نیز با یک اشکال اساسی مواجه شد. بنظر سیلیجر طبق نظریه نیوتن تعداد خطوط نیرو که از بینهایت آمده و به یک جسم می رسد با جرم آن جسم متناسب است. حال اگر جهان نامتناهی باشد و همه ی اجسام با جسم مزبور در کنش متقابل باشند، شدت جاذبه وارد بر آن بینهایت خواهد شد .
مشکل بعدی قانون گرانش نیوتن این است که طبق این قانون یک جسم به طور نامحدود می تواند سایر اجسام را جذب کرده و رشد کند، یعنی جرم یک جسم می تواند تا بینهایت افزایش یابد. این نیز با تجربه تطبیق نمی کند، زیرا وجود جسمی با جرم بینهایت مشاهده نشده است مشکل بعدی قوانین نیوتن در مورد دستگاه مرجع مطلق بود. همچنان که می دانیم حرکت یک جسم نسبی است، وقتی سخن از جسم در حال حرکت است، نخست باید دید نسبت به چه جسمی یا در واقع در کدام چارچوب در حرکت است. دستگاه های مقایسه ای در فیزیک دارای اهمیت بسیاری هستند. قوانین نیوتن نسبت به دستگاه مرجع مطلق مطرح شده بود. یعنی در جهان یک چارچوب مرجع مطلق وجود داشت که حرکت همه اجسام نسبت به آن قابل سنجش بود. در واقع همه ی اجسام در این چارچوب مطلق که آن را "اتر" می نامیدند در حرکت بودند. یعنی ناظر می توانست از حرکت نسبی دو جسم صحبت کند یا می توانست حرکت مطلق آن را مورد توجه قرار دهد.

برگرفته از:ویکیپدیا

 

گهواره نیوتن                               

در حرکت یک جسم تا هنگامی که فقط نیروهای پایستار بر آن اثر می کند مانند حالتی که جسم در مسیر بدون اصطکاک حرکت کند ، قانون بقای انرژی مکانیکی صادق است . یعنی فرضا اگر از انرژی پتانسیل کم شود به همان اندازه به انرژی جنبشی اضافه می شود بطوریکه مجموع این دو ثابت می ماند .

 E1=E2                                     

 U1+K1=U2+K2                 

و در صورتیکه نیروی غیر پایستار مانند اصطکاک بر جسم اثر کند انرژی مکانیکی دیگر ثابت نمی ماند و به اندازه کار آن نیروی غیر پایستار در آن جابجایی  انرژی مکانیکی تغییر می کند . 

 نیروی غیر پایستار    E2-E1=W

این روابط در صورتی صحیح هستند که یک یا چند جسم بدون برخورد در حال حرکت باشند . ولی اگر دو یا چند جسم با هم برخورد داشته باشند علاوه بر قانون بقای انرژی مکانیکی  قانون بقای اندازه حرکت نیز صادق است . یعنی اندازه حرکت کل دستگاه قبل از برخورد برابر اندازه حرکت بعد از برخورد خواهد بود .

اندازه حرکت را با P  نشان می دهیم و از رابطه زیر محاسبه می شود :

 P=mv

قبل از برخورد P1+P2=P1+P2 بعداز برخورد

دلیل این موضوع آن است که همینطور که می دانیم اگر از اندازه حرکت ( تکانه ) نسبت به زمان مشتق بگیریم نیرو بدست می آید . در هنگام برخورد دو جسم اگر نیرویی از خارج بر آنها وارد نشود ( نیرو صفر باشد )پس می بایستی مشتق اندازه حرکت نسبت به زمان صفر باشد و این بدان معنی است که اندازه حرکت باید ثابت بماند .

پس در گهواره نیوتن علاوه بر بقای انرژی جنبشی در لحظه برخورد بایستی بقای اندازه حرکت نیز داشته باشیم .

۱ ) بقای انرژی :     بعد از برخورد  K1+K2=K1+K2  قبل از برخورد

۲) بقای اندازه حرکت :   بعد از برخورد P1+P2=P1+P2  قبل از برخورد

برای آنکه این دو قانون برقرار باشند الزاما بایستی اگر یک گلوله به بقیه گلوله ها برخورد کند از طرف دیگر نیز فقط یک گلوله با همان سرعت از بقیه جدا شود و در صورتیکه دو گلوله را با بقیه گلوله ها برخورد دهیم از آنطرف نیز دو گلوله جدا خواهد شد .

 

 

 

 

نیوتن و ریاضیات

 

«نیوتن» فلاکسیون (حسابان) را از بررسی دو پرسش ابداع کرد :

1- در صورتی که معادله یک حرکت، پیوسته باشد به چه صورتی می توان معادله سرعت حرکت را به دست آورد؟ (و برعکس همین پرسش)

 2- در صورتی که معادله سرعت حرکت را داشته باشیم، معادله حرکت را چگونه به دست آوریم؟

اما از آنجایی که «نیوتن» در پی ابداع روشی عام بود، این سوال را کمی متفاوت مطرح کرد و در تعریف جدید به جای تغییرات مکان یا سرعت، سعی کرد بیان کند «هر تغییری».(در این تعریف به جنس متغیر توجه نمی شد، بلکه فقط به میزان تغییرات نسبت به عاملی خارجی که رابطه یی پیوسته با متغیر دارد، توجه می شد.) کمی پس از «نیوتن» و البته به طور مستقل فردی به نام «لایبنیتس» نیز حسابان را عرضه کرد، البته با نمادگذاری متفاوت، که امروزه ما پس از گذشت تقریباً سه و نیم قرن، همچنان از نمادهای «لایبنیتس» استفاده می کنیم. در روند ایجاد حسابان تعریف های مهمی در ریاضی پدید آمد که امروزه اساس کار ریاضیدانان است که از جمله آنها می توان به «مشتق» اشاره کرد. در گفتاری ساده می توان مشتق را چنین بیان کرد؛ «مثلاً اگر تابعی به نام مکان داشته باشیم و نمودار این تابع را نسبت به متغیری مثل زمان رسم کنیم، مشتق برابر خواهد بود با شیب خط مماسی که در هر نقطه با نمودار تابع مکان رسم می کنیم. به بیان دیگر مشتق برابر است با نسبت تغییرات تابع مکان به تغییرات متغیر زمان، هنگامی که تغییرات متغیر زمان به صفر میل می کند.» (که در این مثال مشتق تابع مکان نسبت به متغیر زمان، سرعت جسم را می دهد. در مثال بالا هر تابع یا متغیری را می توان قرار داد.) هر معادله یی که در آن مشتق وجود داشته باشد، «معادله دیف

/ 1 نظر / 11 بازدید
عادل

سلام دوست عزيز وبلاگ جالبي داريد اما اگر به فکر کسب درآمد از وبلاگت افتادي خوشحال مي شم تو وبلاگم راهنمائيت کنم پس منتظرتم دير نکني ها